Zaman Serisi Analizi ve Tahmin Teknikleri: Trend, Mevsimsellik ve Modelleme

Zaman serisi analizi, zamana bağlı olarak sıralanan gözlem değerlerinin sistematik biçimde incelenmesini, bu verilerdeki örüntülerin belirlenmesini ve geleceğe yönelik tahminlerin yapılmasını amaçlayan istatistiksel bir yöntemdir. Ekonomi, meteoroloji, mühendislik, sağlık bilimleri ve sosyal bilimlerde yaygın kullanılan bu yöntem, verilerdeki trend, mevsimsellik, döngüsellik ve düzensiz dalgalanmaları ayrıştırarak anlamlı çıkarımlar yapılmasına olanak tanır. Kothari (2004), zaman serisi analizinin hem tanımlayıcı hem de tahmin edici amaçlarla kullanılabileceğini belirterek, araştırmacıların bu tekniğe hâkim olması gerektiğini vurgular.

Zaman Serisi Nedir?

Zaman serisi, belirli zaman aralıklarıyla (günlük, haftalık, aylık, yıllık vb.) ölçülen ve kronolojik sıraya dizilen bir veri kümesidir. Bu veri kümesinde her gözlem, belirli bir zaman noktasına karşılık gelir. Bhome ve diğerleri (2013), zaman serisinin temel özelliklerini şöyle sıralar:

• Sıralılık: Gözlemler zamana göre doğal bir sıraya sahiptir ve bu sıra değiştirilemez
• Bağımlılık: Ardışık gözlemler arasında genellikle istatistiksel bağımlılık (otokorelasyon) vardır
• Eşit aralık: Gözlemler ideal olarak eşit zaman aralıklarıyla elde edilir
• Tek değişkenli veya çok değişkenli: Tek bir değişkenin zaman içindeki değişimi (tek değişkenli) veya birden fazla değişkenin eşzamanlı izlenmesi (çok değişkenli) mümkündür

Zaman serisi verileri, kesitsel verilerden temel olarak gözlemler arası bağımsızlık varsayımının sağlanmaması bakımından ayrılır. Bugünkü değer, dünkü değerden etkilenir; bu nedenle standart regresyon teknikleri doğrudan uygulanamaz.

Zaman Serisinin Bileşenleri

Klasik zaman serisi ayrıştırma yaklaşımına göre, bir zaman serisi dört temel bileşenden oluşur. Kothari (2004), bu bileşenleri ayrıntılı biçimde açıklar:

1. Trend (Eğilim) Bileşeni

Trend, zaman serisinin uzun dönemli yönelimini ifade eder. Veri setindeki genel artış veya azalış eğilimini gösterir. Doğrusal (linear) veya doğrusal olmayan (nonlinear) olabilir:

Trend Türü	Açıklama	Örnek
Doğrusal artış	Sabit oranda yükselme	Nüfus artışı (kısa dönem)
Doğrusal azalış	Sabit oranda düşüş	Geleneksel gazete tirajı
Üstel artış	Giderek hızlanan yükselme	İnternet kullanıcı sayısı
S-eğrisi	Başta yavaş, ortada hızlı, sonda yavaşlayan artış	Teknoloji benimseme oranları
Durağan	Belirgin bir yön yok	Stabil bir ekosistemde tür sayısı

Trend bileşenini belirlemek için en küçük kareler yöntemi, hareketli ortalamalar veya filtreleme teknikleri kullanılır.

2. Mevsimsel Bileşen

Mevsimsellik, zaman serisinde sabit periyotlarla tekrarlayan düzenli dalgalanmaları ifade eder. Bu periyot genellikle bir yıl, bir hafta veya bir gündür. Bhome ve diğerleri (2013) mevsimsel bileşenin tanımlanmasında şu özelliklerin arandığını belirtir:

• Dalgalanmalar belirli bir takvim dönemine bağlıdır
• Her yıl (veya periyot) benzer biçimde tekrar eder
• Genliği (amplitude) ve periyodu nispeten sabittir

Mevsimsellik, yalnızca doğa olaylarıyla sınırlı değildir. Okul tatilleri, vergi dönemleri, kültürel etkinlikler ve ekonomik takvim de mevsimsel dalgalanmalara neden olabilir.

3. Döngüsel (Konjonktürel) Bileşen

Döngüsel bileşen, mevsimsel bileşene benzer şekilde dalgalanmaları ifade eder; ancak periyodu sabit değildir ve genellikle birkaç yıldan on yıla kadar uzanan sürelerde gözlenir. Ekonomik genişleme ve daralma döngüleri bunun en tipik örneğidir. Döngüsel bileşeni mevsimsel bileşenden ayıran temel fark, döngüsel dalgalanmaların periyodunun önceden bilinmemesi ve düzensiz olmasıdır.

4. Düzensiz (Rastgele) Bileşen

Düzensiz bileşen, trend, mevsimsellik ve döngüsellik ile açıklanamayan rastgele dalgalanmaları kapsar. Doğal afetler, siyasi krizler, beklenmedik olaylar gibi faktörlerin etkisiyle ortaya çıkar. Bu bileşen, modelin hata terimi olarak değerlendirilir.

Ayrıştırma Modelleri

Zaman serisi bileşenlerini ayırmak için iki temel model kullanılır:

Toplamsal (Additive) Model

Bileşenlerin bağımsız olduğu ve sabit genlikte dalgalanma gösterdiği varsayılır: Y = T + S + C + I (Y: gözlem, T: trend, S: mevsimsel, C: döngüsel, I: düzensiz). Mevsimsel dalgalanmaların büyüklüğü serinin düzeyinden bağımsız olduğunda uygundur.

Çarpımsal (Multiplicative) Model

Bileşenlerin birbirine bağımlı olduğu varsayılır: Y = T × S × C × I. Mevsimsel dalgalanmalar serinin düzeyiyle orantılı olarak büyüdüğünde tercih edilir. Kothari (2004), pratikte çoğu ekonomik ve sosyal zaman serisinin çarpımsal modele daha uygun olduğunu belirtir.

Trend Analizi Yöntemleri

Hareketli Ortalamalar (Moving Averages)

Hareketli ortalama, zaman serisindeki kısa vadeli dalgalanmaları yumuşatarak altta yatan trendi ortaya çıkarmak için kullanılır. Belirli sayıda ardışık gözlemin ortalaması alınarak yeni bir seri oluşturulur:

• Basit hareketli ortalama (SMA): Son k gözlemin eşit ağırlıklı ortalamasıdır. k değeri arttıkça seri daha düzgün hale gelir ancak gecikme artar
• Ağırlıklı hareketli ortalama (WMA): Yakın gözlemlere daha fazla ağırlık verilir. Güncel verilerin daha etkili olduğu durumlarda tercih edilir
• Merkezlenmiş hareketli ortalama: Çift sayıda dönemli serilerde hareketli ortalamanın merkeze kaydırılmasıdır

Bhome ve diğerleri (2013), hareketli ortalama dönem sayısının (k) mevsimsel periyoda eşit seçilmesi durumunda mevsimsel bileşenin tamamen elimine edilebileceğini vurgular.

En Küçük Kareler Trend Çizgisi

Doğrusal trend varsayımı altında, Ŷ = a + bt denklemiyle trend çizgisi tahmin edilir. Burada t zaman değişkeni, a kesim noktası ve b eğimdir. En küçük kareler yöntemi, gözlenen değerlerle tahmin edilen değerler arasındaki farkların karelerinin toplamını minimize eder.

Üstel Düzeltme (Exponential Smoothing)

Üstel düzeltme, hareketli ortalamadan farklı olarak tüm geçmiş gözlemleri dikkate alır; ancak yakın gözlemlere üstel olarak daha fazla ağırlık verir. Temel formül şöyledir:

F(t+1) = αY(t) + (1-α)F(t)

Burada α (0 ile 1 arası) düzeltme katsayısıdır. α değeri büyüdükçe model güncel verilere daha duyarlı hale gelir; küçüldükçe daha düzgün tahminler üretir.

Üstel Düzeltme Türü	Bileşenler	Uygun Olduğu Durum
Basit (Brown)	Düzey	Trend ve mevsimsellik olmayan seriler
Holt	Düzey + Trend	Trendi olan ama mevsimselliği olmayan seriler
Holt-Winters (Toplamsal)	Düzey + Trend + Mevsimsel	Sabit genlikli mevsimsel seriler
Holt-Winters (Çarpımsal)	Düzey + Trend + Mevsimsel	Orantılı genlikli mevsimsel seriler

Mevsimsel Düzeltme ve Mevsim Endeksi

Mevsimsel dalgalanmaları kontrol altına almak ve verileri karşılaştırılabilir hale getirmek için mevsimsel düzeltme uygulanır. Bu işlemde ilk adım, mevsim endekslerinin hesaplanmasıdır:

1. Hareketli ortalama ile trend-döngü bileşeni hesaplanır
2. Orijinal seriden trend-döngü çıkarılır (toplamsal) veya bölünür (çarpımsal)
3. Her mevsim için ortalama oran/fark hesaplanır
4. Endeksler normalize edilir (toplamları dönem sayısına veya 100'e eşit olmalıdır)
5. Orijinal seri mevsim endeksine bölünerek (çarpımsal) veya çıkarılarak (toplamsal) düzeltilir

Mevsimsel düzeltme yapılmış seriler, farklı dönemlerin doğrudan karşılaştırılmasına imkân tanır.

Otokorelasyon ve Durağanlık

Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF)

Otokorelasyon, bir zaman serisinin kendi gecikmeli değerleriyle korelasyonunu ölçer. k gecikmeli otokorelasyon katsayısı r(k), serinin t anındaki değeri ile t-k anındaki değeri arasındaki korelasyondur. Otokorelasyon fonksiyonu grafiği (korelogram), serinin yapısını anlamak için kritik bir araçtır:

• Yavaşça azalan ACF: Trend varlığını gösterir
• Belirli gecikmelerde yükselen ACF: Mevsimsellik varlığını gösterir
• Hızla sıfıra düşen ACF: Durağan bir seriyi işaret eder

Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF)

PACF, aradaki gecikmelerin etkisini kontrol ettikten sonra belirli bir gecikmedeki doğrudan korelasyonu ölçer. PACF, ARIMA modellerinde AR (otoregresif) derecesini belirlemek için kullanılır.

Durağanlık Kavramı

Bir zaman serisi, ortalaması, varyansı ve otokorelasyon yapısı zaman içinde sabit kalıyorsa durağandır. Çoğu zaman serisi analiz tekniği durağanlık varsayımına dayanır. Durağan olmayan serilere fark alma (differencing) işlemi uygulanarak durağanlık sağlanır:

• Birinci fark: Y'(t) = Y(t) - Y(t-1) → doğrusal trendi giderir
• İkinci fark: Y''(t) = Y'(t) - Y'(t-1) → kuadratik trendi giderir
• Mevsimsel fark: Y*(t) = Y(t) - Y(t-s) → mevsimselliği giderir (s: mevsim uzunluğu)

Durağanlığı test etmek için Augmented Dickey-Fuller (ADF) testi ve KPSS testi kullanılır.

ARIMA Modeli

ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average), Box ve Jenkins tarafından geliştirilen ve zaman serisi analizinin en güçlü araçlarından biri olan modeldir. ARIMA(p,d,q) olarak gösterilir:

Parametre	Anlam	Belirleme Yöntemi
p (AR derecesi)	Otoregresif terimlerin sayısı	PACF grafiğinden belirlenir
d (Fark derecesi)	Durağanlık için gereken fark alma sayısı	ADF testi ve ACF incelemesiyle belirlenir
q (MA derecesi)	Hareketli ortalama terimlerinin sayısı	ACF grafiğinden belirlenir

Box-Jenkins Metodolojisi

ARIMA modeli oluşturma süreci dört aşamadan oluşur:

1. Tanımlama: ACF ve PACF grafikleri incelenerek p, d, q değerleri belirlenir
2. Tahmin: Model parametreleri en çok olabilirlik veya en küçük kareler yöntemiyle tahmin edilir
3. Doğrulama: Artıklar (residuals) incelenir; beyaz gürültü özelliği göstermesi beklenir. Ljung-Box testi uygulanır
4. Tahmin: Doğrulanmış model gelecek değerleri tahmin etmek için kullanılır

Mevsimsel ARIMA (SARIMA)

Mevsimsel bileşen içeren seriler için SARIMA modeli kullanılır: ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s. Büyük harfler mevsimsel parametreleri, s ise mevsim uzunluğunu ifade eder.

Tahmin Doğruluğu Ölçütleri

Zaman serisi modellerinin performansını değerlendirmek için çeşitli doğruluk ölçütleri kullanılır:

Ölçüt	Formül Mantığı	Avantajı
MAE (Ortalama Mutlak Hata)	Hataların mutlak değerlerinin ortalaması	Yorumlaması kolay, orijinal birimde
MSE (Ortalama Karesel Hata)	Hataların karelerinin ortalaması	Büyük hatalara daha fazla ceza verir
RMSE (Kök Ortalama Karesel Hata)	MSE'nin karekökü	Orijinal birimde, büyük hatalara duyarlı
MAPE (Ort. Mutlak Yüzde Hata)	Yüzde hatalarının ortalaması	Ölçekten bağımsız, karşılaştırmaya uygun
Theil U İstatistiği	Tahmin hatasını naif modelle karşılaştırır	Göreli performans değerlendirmesi

Kothari (2004), model seçiminde tek bir ölçüte güvenilmemesi ve birden fazla doğruluk kriterinin birlikte değerlendirilmesi gerektiğini vurgular.

Uygulama Alanları ve Dikkat Edilecek Hususlar

Zaman serisi analizi, son derece geniş bir uygulama alanına sahiptir:

• Ekonomi: GSYH tahmini, enflasyon öngörüsü, borsa analizi, işsizlik oranları
• Sağlık: Hastalık yayılım tahmini, hastane başvuru yoğunluğu, epidemiyolojik izleme
• Eğitim: Öğrenci sayısı öngörüsü, sınav başarı trendleri, kayıt oranları
• Çevre: İklim değişikliği modelleme, hava kalitesi tahmini, su seviyesi izleme
• Mühendislik: Kalite kontrol, süreç izleme, sinyal işleme

Araştırmacıların dikkat etmesi gereken başlıca hususlar şunlardır:

• Veri kalitesi: Eksik gözlemler uygun yöntemlerle tamamlanmalıdır (interpolasyon, son gözlem taşıma)
• Aykırı değerler: Aykırı gözlemler tespit edilmeli ve kaynağı araştırılmalıdır
• Yapısal kırılmalar: Serideki ani değişimler (politika değişikliği, kriz) modellemede dikkate alınmalıdır
• Tahmin ufku: Uzun vadeli tahminlerin belirsizliği artar; güven aralıkları genişler
• Aşırı uyum: Çok karmaşık modeller eğitim verisine aşırı uyum sağlayıp genelleme yapamayabilir

Sonuç

Zaman serisi analizi, zamana bağlı verilerin anlaşılması ve geleceğin tahmin edilmesi için vazgeçilmez bir araçtır. Trend, mevsimsellik, döngüsellik ve düzensiz bileşenlerin ayrıştırılması, verinin yapısını anlamak için ilk adımdır. Hareketli ortalamalar ve üstel düzeltme gibi klasik yöntemler basit ama etkili tahmin araçları sunarken, ARIMA ailesindeki modeller daha karmaşık yapıların modellenmesine olanak tanır. Kothari'nin (2004) belirttiği gibi, iyi bir zaman serisi analizi, verilerin dikkatli incelenmesiyle başlar ve model seçiminde tek bir doğruluk ölçütüne değil, birden fazla kritere dayanır. Bhome ve diğerlerinin (2013) vurguladığı gibi, zaman serisi analizinin gücü, verinin geçmişindeki örüntüleri keşfetme ve bu örüntüleri geleceğe yansıtma yeteneğinde yatar. Araştırmacılar bu tekniği öğrenerek, alanlarındaki dinamik süreçleri daha iyi anlayabilir ve kanıta dayalı tahminler üretebilirler.