Çarpıklık ve Basıklık: Dağılım Şeklinin İstatistiksel Analizi

İstatistiksel analizlerde verilerin dağılım şekli, kullanılacak analiz yöntemlerinin belirlenmesinde kritik bir rol oynar. Normal dağılıma sahip veriler parametrik testlerin temel varsayımını karşılarken, bu varsayımdan sapma analiz sonuçlarının güvenilirliğini doğrudan etkiler. Dağılım şeklini nicel olarak değerlendiren iki temel istatistiksel ölçü çarpıklık (skewness) ve basıklık (kurtosis) kavramlarıdır. Jackson'a (2015) göre bu iki ölçü, bir dağılımın normal dağılımdan ne ölçüde saptığını sistematik biçimde ortaya koyar. Kothari (2004) ise çarpıklık ve basıklığın betimsel istatistiğin vazgeçilmez unsurları olduğunu ve araştırmacıların veri analizine başlamadan önce bu ölçüleri mutlaka hesaplaması gerektiğini vurgular. Bu yazıda, çarpıklık ve basıklık kavramlarını, hesaplama yöntemlerini, yorumlama kurallarını ve çarpık verilerle baş etme stratejilerini kapsamlı biçimde ele alacağız.

Dağılım Şekli Nedir ve Neden Önemlidir?

Bir veri setinin dağılım şekli, verilerin merkezi eğilim ölçüleri etrafında nasıl dağıldığını görsel ve sayısal olarak ifade eder. Jackson (2015), dağılım şeklinin üç temel özellikle tanımlandığını belirtir: simetri (çarpıklık), sivrilik (basıklık) ve modların sayısı (tek modlu, iki modlu vb.). Normal dağılım, istatistiksel çıkarımın temel taşıdır; çan eğrisi biçiminde simetrik, tek modlu ve belirli bir basıklık düzeyine sahip bir dağılımdır.

Dağılım şeklinin önemi, parametrik testlerin varsayımlarıyla doğrudan ilişkilidir. t-testi, ANOVA, Pearson korelasyonu ve regresyon analizi gibi yaygın kullanılan parametrik testler, verilerin yaklaşık normal dağılıma sahip olduğunu varsayar. Bu varsayımın ihlali, Tip I ve Tip II hata oranlarını artırabilir, güven aralıklarını yanlış hesaplatabilir ve sonuçların genellenebilirliğini zayıflatabilir.

Önemli Not: Kothari'ye (2004) göre, dağılım şeklinin incelenmesi yalnızca varsayım kontrolü için değil, aynı zamanda verilerin doğasını anlamak, aykırı değerleri tespit etmek ve uygun istatistiksel yöntemleri seçmek için de zorunludur.

Çarpıklık (Skewness) Nedir?

Çarpıklık, bir dağılımın simetri ekseninden sapma derecesini ölçen istatistiksel bir göstergedir. Simetrik bir dağılımda ortalama, medyan ve mod birbirine eşittir ve çarpıklık değeri sıfırdır. Jackson'a (2015) göre çarpıklık, dağılımın kuyruğunun hangi yöne uzandığını ve bu uzanmanın ne kadar belirgin olduğunu sayısal olarak ifade eder.

Pozitif Çarpıklık (Sağa Çarpık Dağılım)

Pozitif çarpıklık, dağılımın sağ kuyruğunun sol kuyruğundan daha uzun olduğu durumu ifade eder. Bu durumda verilerin büyük çoğunluğu düşük değerlerde yoğunlaşırken, az sayıda yüksek değer dağılımın sağ kuyruğunu uzatır. Pozitif çarpık dağılımlarda ortalama > medyan > mod sıralaması gözlenir.

Pozitif çarpıklığa örnek olarak gelir dağılımı verilebilir: Çoğu kişi orta ve düşük gelir düzeyinde yer alırken, az sayıda çok yüksek gelirli birey dağılımın sağ kuyruğunu uzatır. Eğitim araştırmalarında ise çok kolay bir sınavın puan dağılımı pozitif çarpıklık gösterebilir; çoğu öğrenci yüksek puan alırken, az sayıda öğrenci düşük puan alır (tavan etkisi nedeniyle negatif çarpıklık da olabilir, sınav zorluğuna bağlıdır).

Negatif Çarpıklık (Sola Çarpık Dağılım)

Negatif çarpıklık, dağılımın sol kuyruğunun sağ kuyruğundan daha uzun olduğu durumu ifade eder. Verilerin büyük çoğunluğu yüksek değerlerde yoğunlaşırken, az sayıda düşük değer sol kuyruğu uzatır. Negatif çarpık dağılımlarda ortalama < medyan < mod sıralaması gözlenir.

Kothari (2004), negatif çarpıklığın yaşam beklentisi verilerinde sıkça gözlendiğini belirtir: Çoğu kişi görece ileri yaşlara kadar yaşarken, erken yaşta ölümler sol kuyruğu uzatır. Eğitim alanında ise çok zor bir sınavın puan dağılımı negatif çarpıklık gösterebilir.

Sıfır Çarpıklık (Simetrik Dağılım)

Sıfır çarpıklık, dağılımın tam simetrik olduğunu gösterir. Normal dağılım, sıfır çarpıklığa sahip dağılımın en bilinen örneğidir. Ancak sıfır çarpıklık, dağılımın normal olduğunu garanti etmez; tekdüze (uniform) dağılım da sıfır çarpıklığa sahiptir. Bu nedenle çarpıklık değeri tek başına normallik testi olarak kullanılmamalıdır.

Çarpıklığın Hesaplanması

Çarpıklığı hesaplamak için farklı formüller geliştirilmiştir. En yaygın kullanılan üç yöntem şunlardır:

Pearson'ın Birinci Çarpıklık Katsayısı

Pearson'ın birinci çarpıklık katsayısı (mod tabanlı), ortalama ile mod arasındaki farkı standart sapmaya bölerek hesaplanır: Sk₁ = (Ortalama - Mod) / Standart Sapma. Bu formül basit olmakla birlikte, modun her zaman net olarak belirlenemediği durumlarda güvenilir sonuç vermeyebilir.

Pearson'ın İkinci Çarpıklık Katsayısı

Pearson'ın ikinci çarpıklık katsayısı (medyan tabanlı), daha yaygın kullanılır: Sk₂ = 3(Ortalama - Medyan) / Standart Sapma. Jackson'a (2015) göre bu formül, modun belirsiz olduğu durumlarda daha güvenilir sonuçlar verir. Sonuç genellikle -3 ile +3 arasında değer alır.

Fisher'ın Çarpıklık Katsayısı (g₁)

Modern istatistik yazılımlarının kullandığı standart formül Fisher'ın çarpıklık katsayısıdır. Bu formül, üçüncü merkezi momentin standart sapmanın küpüne bölünmesiyle elde edilir: g₁ = [n / ((n-1)(n-2))] × Σ[(xᵢ - x̄) / s]³. SPSS, R ve Excel gibi yazılımlar bu formülü kullanır. Kothari (2004), Fisher katsayısının örneklem büyüklüğüne göre düzeltme içerdiği için küçük örneklemlerde daha doğru sonuçlar verdiğini belirtir.

Çarpıklık Değerlerinin Yorumlanması

Çarpıklık Değeri	Yorum	Dağılım Şekli
0	Tam simetrik	Normal dağılıma uygun
-0.5 ile +0.5 arası	Yaklaşık simetrik	Kabul edilebilir düzeyde
-1.0 ile -0.5 veya +0.5 ile +1.0 arası	Orta düzeyde çarpık	Dikkatle değerlendirilmeli
< -1.0 veya > +1.0	Yüksek düzeyde çarpık	Parametrik testler uygun olmayabilir
< -2.0 veya > +2.0	Aşırı çarpık	Dönüşüm veya parametrik olmayan test gerekli

Jackson (2015), çarpıklık değerinin istatistiksel anlamlılığını test etmek için çarpıklık / standart hata oranının kullanılabileceğini belirtir. Bu oran -1.96 ile +1.96 arasında ise çarpıklık istatistiksel olarak anlamlı değildir (α = .05 düzeyinde) ve dağılım yeterince simetrik kabul edilebilir.

Basıklık (Kurtosis) Nedir?

Basıklık, bir dağılımın sivrilik veya basıklık derecesini ölçen istatistiksel göstergedir. Daha teknik ifadeyle, basıklık dağılımın kuyruklarındaki veri yoğunluğunu ve merkezdeki tepe noktasının keskinliğini yansıtır. Jackson'a (2015) göre basıklık, normal dağılımla karşılaştırıldığında dağılımın kuyruklarının ne kadar ağır veya hafif olduğunu ortaya koyar.

Leptokurtik Dağılım (Pozitif Basıklık)

Leptokurtik dağılımlar, normal dağılımdan daha sivri bir tepe noktasına ve daha ağır kuyruklar sahiptir. Basıklık değeri 3'ten büyüktür (veya fazlalık basıklığı 0'dan büyüktür). Bu tür dağılımlarda veriler merkezde yoğunlaşır ancak aynı zamanda uç değerler de normalden daha sık görülür. Finans alanında hisse senedi getirilerinin dağılımı genellikle leptokurtik özellik gösterir.

Platikurtik Dağılım (Negatif Basıklık)

Platikurtik dağılımlar, normal dağılımdan daha basık bir tepe noktasına ve daha hafif kuyruklar sahiptir. Basıklık değeri 3'ten küçüktür (veya fazlalık basıklığı 0'dan küçüktür). Veriler daha geniş bir aralığa eşit biçimde yayılmıştır. Tekdüze (uniform) dağılım, platikurtik dağılımın aşırı bir örneğidir.

Mezokurtik Dağılım (Normal Basıklık)

Mezokurtik dağılımlar, normal dağılımla aynı basıklık düzeyine sahiptir. Basıklık değeri tam olarak 3'tür (veya fazlalık basıklığı 0'dır). Standart normal dağılım, mezokurtik dağılımın tanımı gereği en temel örneğidir.

Basıklık ve Fazlalık Basıklığı (Excess Kurtosis)

Kothari (2004), basıklık kavramında sıklıkla bir karışıklık yaşandığını belirtir. İki farklı basıklık tanımı mevcuttur:

• Basıklık (Kurtosis): Normal dağılım için değer 3'tür
• Fazlalık basıklığı (Excess Kurtosis): Basıklık değerinden 3 çıkarılır; normal dağılım için değer 0'dır

SPSS ve çoğu istatistik yazılımı fazlalık basıklığını raporlar. Bu nedenle SPSS çıktısında basıklık değeri 0 ise dağılım mezokurtiktir (normal basıklık). Araştırmacıların hangi tanımın kullanıldığını bilmesi, doğru yorumlama için kritik öneme sahiptir.

Dağılım Türü	Basıklık (κ)	Fazlalık Basıklığı (κ-3)	Özellikler
Leptokurtik	> 3	> 0	Sivri tepe, ağır kuyruklar, uç değerler fazla
Mezokurtik	= 3	= 0	Normal dağılım ile aynı
Platikurtik	< 3	< 0	Basık tepe, hafif kuyruklar, veriler yayılmış

Çarpıklık ve Basıklığın Parametrik Testlere Etkisi

Parametrik testlerin güvenilirliği, verilerin normal dağılıma ne kadar yakın olduğuyla doğrudan ilişkilidir. Jackson (2015), çarpıklık ve basıklığın parametrik testler üzerindeki etkilerini şu şekilde özetler:

• Çarpıklığın etkisi: Çarpık dağılımlar, ortalamayı dağılımın kuyruğuna doğru çeker. Bu durum ortalamaya dayalı testlerin (t-testi, ANOVA) sonuçlarını bozabilir. Tip I hata oranı artabilir veya azalabilir.
• Basıklığın etkisi: Leptokurtik dağılımlar, standart hata tahminlerini küçültebilir ve Tip I hata oranını artırabilir. Platikurtik dağılımlar ise istatistiksel gücü azaltabilir.
• Birlikte etkisi: Hem çarpıklık hem basıklık normal olmadığında, testlerin güvenilirliği ciddi biçimde tehlikeye girer.

Kothari (2004), büyük örneklemlerde (n > 30) merkezi limit teoremine bağlı olarak örneklem ortalamalarının yaklaşık normal dağılacağını ve bu nedenle hafif çarpıklığın tolere edilebileceğini belirtir. Ancak küçük örneklemlerde çarpıklık ve basıklık kritik öneme sahiptir.

Dağılım Şeklinin Görsel İncelenmesi

Çarpıklık ve basıklık değerlerinin sayısal analizinin yanı sıra, dağılım şeklinin görsel olarak incelenmesi de büyük önem taşır. Jackson'a (2015) göre şu grafik türleri dağılım şeklinin değerlendirilmesinde kullanılabilir:

1. Histogram: Dağılımın genel şeklini, simetrisini ve mod sayısını görsel olarak ortaya koyar. Normal eğri bindirilerek karşılaştırma yapılabilir.
2. Kutu grafiği (Box Plot): Medyanı, çeyrekler arası aralığı ve aykırı değerleri gösterir. Kutunun medyana göre konumu çarpıklık hakkında bilgi verir.
3. Normal Q-Q grafiği: Gözlenen değerlerin beklenen normal değerlere karşı çizildiği grafiktir. Noktalar doğru üzerinde yer alıyorsa dağılım normal kabul edilir; sapma çarpıklığı veya basıklığı gösterir.
4. Kök-yaprak grafiği (Stem-and-Leaf): Küçük örneklemler için dağılım şeklini gösterir ve orijinal veri değerlerini korur.
5. Yoğunluk grafiği (Density Plot): Histogramın düzleştirilmiş versiyonudur; dağılım şeklini sürekli bir eğri ile gösterir.

Pratik Öneri: Kothari'ye (2004) göre, araştırmacılar yalnızca sayısal çarpıklık ve basıklık değerlerine güvenmemeli, mutlaka histogram ve Q-Q grafiği gibi görsel araçlarla da dağılımı incelemelidir. Sayısal değerler tek başına dağılımın tüm özelliklerini yansıtmayabilir.

SPSS ile Çarpıklık ve Basıklık Analizi

SPSS'te çarpıklık ve basıklık değerlerini elde etmek için birkaç yol mevcuttur:

Yöntem 1: Betimsel İstatistikler

Analyze → Descriptive Statistics → Descriptives menüsünden ilgili değişken seçilir, Options butonuna tıklanarak Kurtosis ve Skewness onay kutuları işaretlenir. SPSS çıktısı şu bilgileri raporlar: Skewness (çarpıklık değeri), Std. Error of Skewness (çarpıklık standart hatası), Kurtosis (fazlalık basıklığı değeri) ve Std. Error of Kurtosis (basıklık standart hatası).

Yöntem 2: Explore Komutu

Analyze → Descriptive Statistics → Explore menüsü daha kapsamlı bir analiz sunar. Bu komut çarpıklık ve basıklık değerlerinin yanı sıra histogram, Q-Q grafiği, kutu grafiği ve normallik testlerini (Kolmogorov-Smirnov, Shapiro-Wilk) de raporlar.

SPSS Çıktısının Yorumlanması

SPSS çıktısında çarpıklık ve basıklık değerlerini yorumlamak için z-puanı yöntemi kullanılabilir:

• z(çarpıklık) = Çarpıklık / Standart Hata(çarpıklık)
• z(basıklık) = Basıklık / Standart Hata(basıklık)

Bu z değerleri -1.96 ile +1.96 arasında ise (α = .05), çarpıklık veya basıklık istatistiksel olarak anlamlı değildir ve dağılım yeterince normal kabul edilebilir. Ancak Jackson (2015), büyük örneklemlerde (n > 300) bu testin çok hassas olabileceğini ve küçük sapmaları bile anlamlı bulabileceğini uyarır. Bu durumda mutlak değer kriterlerinin (çarpıklık < |2|, basıklık < |7|) veya görsel incelemenin daha uygun olduğunu belirtir.

Çarpık Verilerle Baş Etme: Dönüşüm Yöntemleri

Veriler önemli düzeyde çarpıklık gösterdiğinde, araştırmacıların birkaç seçeneği vardır. Jackson'a (2015) göre en yaygın yaklaşım veri dönüşümüdür:

Logaritmik Dönüşüm (Log Transformation)

Pozitif çarpık dağılımlar için en sık kullanılan dönüşümdür. Her veri değerinin doğal logaritması veya 10 tabanında logaritması alınır: X' = ln(X) veya X' = log₁₀(X). Sıfır veya negatif değerler varsa, tüm değerlere sabit bir sayı eklenerek (X + c) bu sorun aşılır. Logaritmik dönüşüm, yüksek değerleri oransal olarak daha fazla sıkıştırdığı için sağ kuyruğu kısaltır.

Karekök Dönüşümü (Square Root Transformation)

Hafif ile orta düzeyde pozitif çarpıklık için uygundur: X' = √X. Logaritmik dönüşümden daha az etkili bir düzeltme sağlar. Sayım verileri (count data) ve Poisson dağılımı gösteren veriler için özellikle uygundur.

Box-Cox Dönüşümü

Box-Cox dönüşümü, optimum dönüşüm parametresini (λ) veriden tahmin eden esnek bir dönüşüm ailesidir. Formül: X' = (X^λ - 1) / λ (λ ≠ 0). Özel durumlar: λ = 1 ise dönüşüm yok, λ = 0.5 ise karekök, λ = 0 ise logaritmik dönüşüm. Box-Cox dönüşümü, en uygun dönüşüm türünü otomatik olarak belirlediği için güçlü bir araçtır.

Ters Dönüşüm (Reciprocal Transformation)

Şiddetli pozitif çarpıklık için kullanılır: X' = 1/X. Bu dönüşüm sıralamayı tersine çevirdiği için dikkatli yorumlanmalıdır. Tepki süreleri ve oranlar gibi veriler için uygundur.

Negatif Çarpıklık İçin Dönüşümler

Negatif çarpık dağılımlar için önce yansıma (reflection) uygulanır: Her değer, maksimum değer artı birden çıkarılır (X' = max(X) + 1 - X). Bu işlem dağılımı pozitif çarpık hale getirir, ardından yukarıdaki dönüşümlerden biri uygulanır.

Dönüşüm Yöntemlerinin Karşılaştırması

Dönüşüm	Formül	Uygun Olduğu Durum	Etki Gücü
Karekök	X' = √X	Hafif pozitif çarpıklık, sayım verileri	Düşük
Logaritmik	X' = ln(X)	Orta-yüksek pozitif çarpıklık	Orta
Ters	X' = 1/X	Şiddetli pozitif çarpıklık	Yüksek
Box-Cox	X' = (X^λ - 1) / λ	Her düzeyde çarpıklık	Optimum

Kritik Uyarı: Dönüşüm uygulandığında sonuçların yorumlanması karmaşıklaşır. Kothari'ye (2004) göre, dönüşüm sonrası elde edilen değerler orijinal ölçeğinde değildir; bu nedenle bulguların yorumlanması ve raporlanması sırasında bu durum açıkça belirtilmelidir. Alternatif olarak, parametrik olmayan testler kullanılabilir.

Normallik Testleri ile Birlikte Değerlendirme

Çarpıklık ve basıklık değerleri, normallik varsayımının tek göstergesi değildir. Jackson (2015), kapsamlı bir normallik değerlendirmesi için şu adımları önerir:

1. Görsel inceleme: Histogram, Q-Q grafiği ve kutu grafiği
2. Betimsel istatistikler: Çarpıklık ve basıklık katsayıları ve z-puanları
3. Resmi normallik testleri: Shapiro-Wilk (n < 50 için tercih edilir) ve Kolmogorov-Smirnov testleri
4. Merkezi eğilim ölçüleri karşılaştırması: Ortalama, medyan ve mod arasındaki farkların incelenmesi

Bu dört yaklaşımın birlikte kullanılması, normallik varsayımının en güvenilir biçimde değerlendirilmesini sağlar. Tek bir yöntemin sonucuna güvenmek yanıltıcı olabilir.

Tez ve Akademik Çalışmalarda Raporlama

Çarpıklık ve basıklık değerlerinin akademik raporlama formatı şu şekilde olmalıdır:

Örnek APA raporlaması: "Dağılımın normalliği çarpıklık ve basıklık katsayıları ile incelenmiştir. Çarpıklık değeri -0.34 (SH = 0.12), basıklık değeri 0.56 (SH = 0.24) olarak hesaplanmıştır. Çarpıklık ve basıklık z-puanları sırasıyla -2.83 ve 2.33 olarak bulunmuştur. Ayrıca Shapiro-Wilk normallik testi sonucunda dağılımın normal dağılımdan anlamlı biçimde sapmadığı belirlenmiştir (W = 0.987, p = .231). Histogram ve Q-Q grafiği incelemesi de bu bulguyu desteklemektedir."

Kothari (2004), araştırmacıların normallik değerlendirmesinde hangi kriterleri kullandığını ve bu kriterlere göre varılan kararı açıkça belirtmesi gerektiğini vurgular. "Veriler normal dağılım göstermiştir" gibi genel ifadeler yetersizdir; hangi testin veya kriterin kullanıldığı ve sonuçların ne olduğu belirtilmelidir.

Sonuç

Çarpıklık ve basıklık, verilerin dağılım şeklini nicel olarak değerlendiren temel istatistiksel ölçülerdir. Çarpıklık, dağılımın simetri ekseninden sapmasını; basıklık ise sivrilik ve kuyruk ağırlığını ölçer. Bu ölçüler, parametrik test varsayımlarının kontrolünde kritik rol oynar. Jackson'ın (2015) vurguladığı gibi, araştırmacılar analiz öncesinde mutlaka çarpıklık ve basıklık değerlerini hesaplamalı, görsel incelemeyi sayısal değerlerle desteklemeli ve gerektiğinde veri dönüşümü veya parametrik olmayan alternatifler kullanmalıdır. Kothari'nin (2004) belirttiği gibi, dağılım şeklinin doğru biçimde değerlendirilmesi, istatistiksel çıkarımların güvenilirliğinin temel garantisidir. Normallik varsayımının sistematik biçimde test edilmesi ve raporlanması, bilimsel araştırmanın metodolojik titizliğinin önemli bir göstergesidir.